Angka Poisson, Regangan Lateral dan Aksial, serta Prinsip Saint Venant’s

Angka Poisson, Regangan Lateral dan Aksial, serta Prinsip Saint Venant’s

1. Poisson Ratio

Poisson Ratio yaitu rasio regangan pada arah lateral (tegak lurus terhadap pembebanan) terhadap arah aksial. Jadi, angka poisson adalah nilai perbandingan antara regangan horizontal dan regangan vertikal. Dinyatakan dengan rumus:

Dimana :

μ = angka poisson

εh = regangan horizontal (lateral strain)

εv = regangan vertikal (axial strain)

2. Perubahan Volume

Perubahan dimensi pada batang elemen karena gaya tarik/tekan, sehingga terjadi perubahan volume elemen. Perubahan elemen-elemen tersebut :

Vf = a1b1c1 (1+ε)(1-v ε)(1-v ε) = Vo (1+ ε)(1-v ε)(1-v ε)

Dimana :

a1b1c1 = dimensi yang sudah berubah (dimensi akhir)

v = angka poisson

ε = regangan

Disederhanakan

Vf = Vo (1+ ε – 2 v ε)

ΔVf = Vf – Vo = Voε(1-2v )

Dimana :

Vo = volume semula

Perubahan volume satuan (e)

e = ∆𝑉/𝑉𝑜 = ε (1-2v) = 𝜎/ε (1-2v)

3. Regangan Lateral

4. Regangan Geser

Perubahan sudut yang terjadi pada bagian pokok elemen empat persegi panjang awal disebut sebagai regangan geser, dan merupakan sudut yang dinyatakan dalam derajat atau radian dan dinotasikan dengan γ.

Rasio antara tegangan geser (τ) dengan regangan geser (γ) disebut modulus elastisitas geser, dan biasanya dinotasikan dengan G, 

Hukum Hooke untuk tegangan dan regangan geser :

σ = γ . G

G = 𝐸/(2 (1+υ))

Dimana :

σ = Tegangan Geser

γ = Regangan Geser

G = Modulus Geser

υ = Poisson’s Ratio

Modulus elastisitas geser disebut juga modulus kekakuan (modulus of rigity). Satuan untuk modulus elastisitas geser sama dengan satuan tegangan geser, yaitu N/m2 atau N/mm2.

5. Regangan total

Regangan total yang timbul pada elemen adalah penjumlahan dari regangan yg muncul akibat tegangan pada berbagai arah :

εxx = σ xx/E – v. σ yy /E

εyy = - v. σ xx /E + σ yy /E

εxy = σ xy 2(1+v) / E

6. Titik berat

Luas penampang suatu bidang adalah

A = ∫dA = ∫dx dy

Dimana dx dan dy masing masing merupakan panjang bidang pada arah x dan y.

Titik berat atau pusat suatu luasan adalah suatu titik dimana luasan terkonsentrasi dan tetap meninggalkan momen yang tidak berubah terhadap sembarang sumbu. Pada umumnya letak titik berat dinyatakan sebagai jarak pada koordinat “x” dan “y”.

Momen pertama dQx elemen da terhadap sumbu x adalah dQx = yda, dan terhadap sumbu y adalah dQy = xda

Jika momen pertama suatu luasan terhingga dinyatakan dengan Qx, maka :

Jadi letak titik berat atau pusat suatu luasan dengan koordinat sebagai berikut:

Untuk luasan bidang yang tersusun atas n sub-luasan Ai, dengan masing-masing koordinat “x” dan “y” diketahui, titik berat dapat ditentukan dengan cara menganggap luasan penampang sebagai berat, kemudian berdasarkan jumlah momen dari bagian-bagian luasan penampang terhadap garis sembarang sama dengan momen keseluruhan penampang terhadap garis yang sama, maka letak titik berat dapat ditentukan :

7. Momen statis

Statis momen penampang adalah besaran yang menyatakan seberapa besar tingkat statis suatu penampang terhadap suatu sumbu acuan atau titik acuan. Jika dA adalah elemen luas dan r adalah panjang titik berat elemen luas tersebut ke suatu acuan (garis atau titik), maka statis momen penampang dinyatakan dalam :

S = ∫ r dA

dalam analisis penampang, statis momen terbagi menjadi statis momen terhadap sumbu X:

Sx = ∫ y dA

dan statis momen terhadap sumbu Y:

Sy = ∫ x dA

Statis momen berguna untuk menentukan titik berat suatu penampang (atau suatu volume tertentu).

Titik berat terhadap sumbu Y adalah : Xo = (ΣSy)/A

Titik berat terhadap sumbu X adalah : Yo = (ΣSx)/A

A adalah luas penampang

Dalam mekanika teknik, statis momen digunakan untuk menghitung tegangan geser pada suatu penampang.

τ = VS/(I t)

8. Prinsip Saint-Venant

Prinsip Saint Venant menyatakan bahwa distribusi tegangan yang terdapat pada potongan tampang melintang (cross-section) dianggap seragam, kecuali pada bagian ujungnya. Untuk memahami prinsip Saint-Venant, bayangkan bahwa kita mempunyai benda dengan sistem pembebanan yang bekerja pada bagian kecil dari permukaannya. Sebagai contoh, misalkan kita mempunyai batang prismatis yang lebarnya b yang mengalami sistem beberapa beban terpusat yang bekerja di ujungnya Gambar 2-58a.

Untuk mudahnya, asumsikan bahwa beban adalah simetris dan hanya mempunyai resultan vertikal. Selanjutnya, tinjau sistem beban yang berbeda tetapi ekivalen secara statis, yang bekerja pada daerah kecil yang sama dari batang ("Ekivalen secara statis" berarti bahwa kedua sistem gaya mempunyai resultan gaya yang sama dan resultan momen yang sama.) Sebagai contoh, beban yang terdistribusi secara merata yang terlihat dalam Gambar 2-58b ekivalen secara statis dengan sistem beban terpusat yang terlihat dalam Gambar 2-58a.

Prinsip Saint-Venant menyatakan bahwa tegangan di benda yang disebabkan oleh kedua sistem pembebanan ini sama, asalkan kita menjauh dari daerah yang dibebani dengan jarak sedikitnya sama dengan dimensi terbesar dari daerah yang dibebani jarak b pada contoh ini). Jadi, distribusi tegangan yang terlihat dalam Gambar 2-57 adalah ilustrasi dari prinsip Saint-Venant.